国家开放大学23春常微分方程形考任务（资料答案）
时间:2023-06-13 点击:380次
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| 形考任务1 常微分方程网上学习问答（占形考总分的10分） 试卷总分:100 得分:100 1.本课程的教学内容共有五章，其中第三章的名称是（?? ）． A.基本定理 B.定性和稳定性理论简介 C.一阶线性微分方程组 D.初等积分法 2.本课程安排了6次形成性考核任务，第2次形成性考核作业的名称是（??? ）． A.初等积分法中的方程可积类型的判断 B.第一章初等积分法的形成性考核书面作业 C.第二章基本定理的形成性考核书面作业 D.第一章至第四章的单项选择题 3.网络课程主页的左侧第3个栏目名称是：（??? ）． A.课程公告 B.课程信息 C.自主学习 D.系统学习 4.网络课程的“系统学习”栏目中第一章初等积分法的第4个知识点的名称是（?? ）． A.分离变量法 B.常数变易法 C.一阶隐式微分方程 D.全微分方程与积分因子 5.网络课程的“视频课堂”栏目中老师讲课的电视课共有（?? ）讲． A.17 B.18 C.19 D.20 6.网络课程主页的左侧“考试复习”版块中第二个栏目名称是：（??? ）． A.各章练习汇总 B.模拟测试 C.复习指导 D.考核说明 7.请您按照课程的学习目标、学习要求和学习方法设计自己的学习计划，并在下列文本框中提交，字数要求在100—1000字． 形考任务2 初等积分法中的方程可积类型的判断（1） 试卷总分:100 得分:0 1.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页公式 ____ 可以判定． 2.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页公式 ____ 可以判定． 3.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页公式 ____ 可以判定． 4.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页 ____ 方程的定义可以判定． 5.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页公式 ____ 可以判定． 6.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页公式 ____ 可以判定． 7.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页公式 ____ 可以判定． 8.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页公式 ____ 可以判定． 9.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页公式 ____ 可以判定． 10.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页公式 ____ 可以判定． 形考任务2 初等积分法中的方程可积类型的判断（2） 试卷总分:100 得分:0 1.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页公式 ____ 可以判定． 2.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页公式 ____ 可以判定． 3.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页的 ____ 方程定义可以判定． 4.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页公式 ____ 可以判定． 5.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页公式 ____ 可以判定． 6.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页公式 ____ 可以判定． 7.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页公式 ____ 可以判定． 8.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页公式 ____ 可以判定． 9.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页 ____ 方程的定义可以判定． 10.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页公式 ____ 可以判定． 常微分方程学习活动3 第一章 初等积分法的综合练习 本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握． 要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。 一、填空题 1．微分方程 是 阶微分方程． 2．初值问题 的解所满足的积分方程是 ． 3．微分方程 是 ．（就方程可积类型而言） 4．微分方程 是 ．（就方程可积类型而言） 5．微分方程 是 ．（就方程可积类型而言） 6．微分方程 的所有常数解是 ． 7．微分方程 的常数解是 ． 8．微分方程 的通解为 ． 9．微分方程 的通解是 ．. 10．一阶微分方程的一个特解的图像是 维空间上的一条曲线． 二、计算题 1．指出下列方程的阶数，是否是线性方程： （1） （2） （3） 2．用分离变量法求解下列方程： （1） （2） （3） 3．解下列齐次线性微分方程 （1） （2） 4．解下列一阶线性微分方程： （1） （2） 5．解下列伯努利方程 （1） （2） 6．解下列全微分方程： （1） （2） 7．求下列方程的积分因子和积分： （1） （2） 8．求解下列一阶隐式微分方程 （1） （2） 9．求解下列方程 （1） （2） 三、证明题 1．设函数 ， 在 上连续，且 ， （a, b为常数）．求证：方程 的一切解在 上有界． 2．设 在 上连续，且 ，求证：方程 的一切解 ，均有 ． 四、应用题 1．按牛顿冷却定律：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比, 已知空气温度为 , 而物体在15分钟内由 冷却到 , 求物体冷却到 所需的时间. 2．重为100kg的物体，在与水平面成30的斜面上由静止状态下滑，如果不计磨擦，试求： （1）物体运动的微分方程； （2）求5 s后物体下滑的距离，以及此时的速度和加速度． 参考解答 一、填空题 1．二 2． 3．一阶线性非齐次微分方程 4．全微分方程 5．恰当导数方程 6． 7． 8． 9． 10．二 二、计算题 1．（1）一阶，非线性；（2）四阶，线性； （3) 三阶，非线性. 2．（1）解 通积分为 （2）解 当 时，分离变量，两端取积分得 即 通积分为 另外， 是常数解， 注: 在方程求解时，求出显式通解或隐式通解（通积分）即可，常数解可以不求。 （3）解 当 时, 方程可变为 ， 通积分为 或 , 上式代入初值条件 . 得 . 于是初值问题解为 . 3．（1）解 显然 是方程的解. 当 时, 原方程可化为 . 令 , 则原方程可化为 , 即 易于看出, 是上面方程的解, 从而 是原方程的解. 当 时, 分离变量得, . 两端积分得 (C ) 将 换成 , 便得到原方程的解 , (C ). 故原方程的通解为 （ 为任意常数）及 . （2）解 显然 是方程的解. 当 时, 原方程可化为 . 令 , 则原方程可化为 , 即 易于看出, 是上式的解, 从而 是原方程的解. 当 时, 分离变量得, . 两端积分得 (C ). 将 换成 , 便得到原方程的解 (C ). 故原方程的通解为 . 4．（1）解 先解齐次方程 . 其通解为 . 用常数变易法, 令非齐次方程通解为 . 代入原方程, 化简后可得 . 积分得到 . 代回后即得原方程通解为 . （2）解 先解齐次方程 . 其通解为 . 用常数变易法, 令非齐次方程通解为 . 代入原方程, 化简后可得 . 积分得到 . 代回后即得原方程通解为 . 5．（1）解 显然 是方程解. 当 时, 两端同除 , 得 . 令 , 代入有 它的解为 于是原方程的解为 ，及 （2）解 显然 是方程解. 当 时, 两端同除 , 得 . 令 , 代入有 它的解为 ， 于是原方程的解 ， 及 6．（1）解 因为 , 所以这方程是全微分方程, 及 在整个 平面都连续可微, 不妨选取 . 故方程的通积分为 , 即 . （2）解 因为 , 所以这方程是全微分方程, 及 在整个 平面都连续可微, 不妨选取 . 故方程的通积分为 , 即 . 7．（1）解 因为 , 与y无关, 故原方程存在只含x的积分因子. 由公式（1. 58）得积分因子 ，即 于是方程 为全微分方程.取 . 于是方程的通积分为 . 即 . （2）解 因为 , 与y无关, 故原方程存在只含x的积分因子. 解方程 由公式（1. 58）得积分因子 ，即 于是方程 为全微分方程. 取 . 于是通积分为 . 即 . 8．（1）解 将方程改写为 即 或 解 得通积分为： , 又 是常数解. （2）解 显然是方程的解. 当 时, 方程可变为 , 令 , 则上面的式子可变为 . 解出u得, . 即 . 对上式两端积分得到方程的通解为 9．（1）解 令 , 则 . 代入原式得 . 解出 得 . 这是克莱洛方程，通解为 . 即 . 解之得 （ 为任意常数）. （2）解 化简得 ， 即 求积分得 . . 三、证明题 1．证明 设y=y(x)是方程任一解，且满足y(x0)=y0, 则 由于 ，所以对任意ε＞0,存在 ＞x0,使得x＞ 时 有 令 ，则 于是得到 又在[x0，x1]上y(x)有界设为M2，现取 ， 则 2．证明 设 是方程任一解，满足 ，该解的表达式为 取极限 = 四、应用题 1． 解 设物体在时刻t的温度为 ，由题意 满足初值问题 其中 为常数． 解得 设物体冷却到40℃所需时间为 ，于是由 得 解得 52分钟. 2．解 取初始下滑点为原点， 轴正向垂直向下，设 时刻速度为 , 距离为 , 由题意 满足初值问题 解得 再由 解得 于是得到5秒后， ， , ． 常微分方程学习活动4 第二章 基本定理的综合练习 本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握． 要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。 一、填空题 1. 方程 的任一非零解 与x轴相交． 2．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件． 3. 方程 + ysinx = ex的任一解的存在区间必是 ． 4．一阶显式方程解的最大存在区间一定是 ． 5．方程 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 6．方程 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 7．方程 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 8．方程 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 9．方程 满足解的存在惟一性定理条件的区域是 ． 10．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间． 二、计算题 1．判断下列方程在怎样的区域上保证初值解存在且惟一？ （1） （2） 2．讨论方程 在怎样的区域中满足定理2.2的条件．并求通过 的一切解． 3．判断下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出奇解． （1） （2） 三、证明题 1．试证明：对于任意的 及满足条件 的 ，方程 的解 在 上存在． 2．设 在整个平面上连续有界，对 有连续偏导数，试证明方程 的任一解 在区间 上有定义． 3．设 在区间 上连续．试证明方程 的所有解的存在区间必为 ． 4．在方程 中，已知 ， 在 上连续，且 ．求证：对任意 和 ，满足初值条件 的解 的存在区间必为 ． 5．假设方程 在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且 ， 是定义在区间I上的两个解．求证：若 < ， ，则在区间I上必有 < 成立． 6．设 是方程 的非零解，其中 在 上连续．求证：当 时，必有 ． 7．设 在 上连续可微，求证：对任意的 ， ，方程 满足初值条件 的解必在 上存在． 8．证明：一阶微分方程 的任一解的存在区间必是 ． 四、应用题 1．求一曲线，具有如下性质：曲线上任一点的切线，在 轴上的截距之和为1． 2．求一曲线，此曲线的任一切线在两个坐标轴间的线段长等于常数 ． 参考解答 一、填空题 1．不能 2．充分 3. (-∞,+∞) 4．开区间 5． 平面 6． 平面 7． 平面 8． ，（或不含x 轴的上半平面） 9．全平面 10．开 二、计算题 1．解 （1) 因为 及 在整个 平面上连续, 且满足存在唯一性定理条件, 所以在整个 平面上, 初值解存在且唯一. （2) 因为 及 在整个 平面上连续, 且满足存在唯一性定理条件, 所以在整个 平面上, 初值解存在且唯一. 2．解 因为方程 在整个 平面上连续, 除 轴外, 在整个 平面上有界, 所以除 轴外在整个 平面上都满足定理2.1的条件. 而后分离变量并积分可求出方程的通解为 其中 另外容易验证 是方程的特解. 因此通过 的解有无穷多个, 分别是: 3．解 （1) 因为 在半平面 上连续, 当 时无界, 所以如果存在奇解只能是 , 但 不是方程的解, 故方程无奇解. （2) 因为 在 的区域上连续, 当 时无界, 所以如果方程有奇解, 则奇解只能是 显然 是方程的解, 是否为奇解还需要进一步讨论. 为此先求出方程的通解 由此可见对于 轴上点 存在通过该点的两个解: 及 故 是奇解. (如图2-2所示) 三、证明题 1．证明 首先 和 是方程在 的解. 易知方程的右端函数满足解的延展定理以及存在唯一性定理的条件. 现在考虑过初值 ( )的解, 根据唯一性, 该解不能穿过直线 和 . 因此只有可能向左右两侧延展, 从而该初值解应在 上存在. 2．证明 不妨设 过点 分别作直线 和 . 设过点 的初值解为 . 因为 , 故在 的某一右邻域内,积分曲线 位于 之下, 之上. 下证曲线 不能与直线 相交. 若不然, 使得 且 , 但由拉格郎日中值定理, , 使得 . 矛盾. 此矛盾证明曲线 不能与直线 相交. 同理可证, 当 时, 它也不能与 相交. 故当 时解曲线 位于直线 , 之间. 同理可证, 当 时, 解曲线 也位于直线 , 之间. 由延展定理, 的存在区间为 。 3．证明 由已知条件，该方程在整个 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件． 显然 是方程的两个常数解． 任取初值 ，其中 , ．记过该点的解为 ，由上面分析可知，一方面 可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过 ，下方不能穿过 ，否则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为 ． 4．证明 由已知条件可知，该方程在整个 平面上满足解的存在惟一及延展定理条件，又存在常数解 ． 对平面内任一点 ，若 ，则过该点的解是 ，显然是在 上有定义． 若 ,则 ,记过该点的解为 ，那么一方面解 可以向平面的无穷远无限延展；另一方面在条形区域 内 不能上、下穿过解 和 ，否则与解的惟一性矛盾．因此解的存在区间必为 ． 5．证明 仅证 方向，（反之亦然）． 假设存在 ，使得 > （ = 不可能出现，否则与解惟一矛盾）． 令 = - ，那么 = - < 0， = - > 0 由连续函数介值定理，存在 ，使得 = - = 0 即 = 这与解惟一矛盾 6．证明 由已知条件知方程存在零解．该方程满足解的存在惟一性定理条件． 设 是方程的一个非零解，假如它满足 ， ， 由于零解也满足上述条件，以及方程有零解存在，那么由解的惟一性有 ，这与 是非零解矛盾． 7．证明 该方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理． 又 是该方程的两个常数解． 现取 ， ，记过点 的解为 ．一方面该解可向平面的无穷远无限延展，另一方面又不能上下穿越 ，否则将破坏解的惟一性．因此，该解只能在区域 内沿x轴两侧无限延展，显然其定义区间必是 ． 8．证明 方程在全平面上满足解的存在唯一性定理的条件，又 是方程的常数解． 对平面上任取的 若 则对应的是常数解 其存在区间显然是 若 )则过该点的解可以向平面无穷远无限延展，但是上下又不能穿越 和 ，于是解的存在区间必是 ． 四、应用题 1．解 首先, 由解析几何知识可知, 满足 的直线 都是所求曲线. 设 (x, y) 为所求曲线上的点，(X, Y)为其切线上的点, 则过 (x, y) 的切线方程为 . 显然有 此处 a 与 b 分别为切线在Ox 轴与Oy 轴上的截距. 故 . 解出y, 得到克莱洛方程 , 通解为 所以 , 即 为所求曲线方程. 2．解 设 (x, y) 为所求曲线上的点, (X, Y)为其切线上的点, 则过 (x, y) 的切线方程为 . 显然有 此处 a 与 b 分别为切线在Ox 轴与Oy 轴上的截距. 故 , 即 . 解出 得 故曲线的方程为 消去 即的曲线方程为 . 形考任务5 第一章至第四章的单项选择题（占形考总分的10分） 试卷总分:100 得分:100 1.一阶线性微分方程{图}的积分因子是（??? ）． A.{图} B.{图} C.{图} D.{图} 2.微分方程{图}的通解为y =（??? ）． A.{图} B.{图} C.{图} D.{图} 3.一阶变量可分离微分方程{图}的积分因子是（??? ）． A.{图} B.{图} C.{图} D.{图} 4.方程{图}满足解的存在唯一性定理条件的区域是(????? ). A.全平面 B.y＞0的上半平面 C.y＜0的下半平面 D.除去x轴的全平面 5.方程{图}过点(0, 0)的解为{图}，此解的存在区间是(????? ). A.{图} B.（－∞，＋∞） C.{图} D.{图} 6.线性非齐次方程组{图}的所有解(??? ). A.构成一个n维线性空间 B.构成一个n +1维线性空间 C.不是线性空间 D.构成一个无穷维线性空间 7.向量函数组在区间{图}上线性相关的是它们的朗斯基行列式W(x) 在区间{图}上恒等于零的（???? ）． A.既不充分也步必要条件 B.必要但非充分条件 C.充分且必要条件 D.充分但非必要条件 8.用待定系数法求方程{图}的非齐次特解{图}，{图}应设为（??? ）． A.{图} B.{图} C.{图} D.{图} 9.方程的{图}的任一解的图像是三维空间{图}中的（??? ）． A.一个曲面 B.一条曲线 C.一族曲面 D.一族曲线 10.用待定系数法求方程{图}的非齐次解{图}的形式应设为（??? ）． A.{图} B.{图} C.{图} D.{图} 常微分方程学习活动6 第三章一阶线性方程组、第四章n阶线性方程的综合练习 本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握． 要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。 一、填空题 1．若A(x)在(-∞,+∞)上连续，那么线性齐次方程组 ， 的任一非零解在 空间 与x轴相交． 2．方程组 的任何一个解的图象是 维空间中的一条积分曲线． 3．向量函数组Y1(x), Y2(x),…,Yn(x)线性相关的 条件是它们的朗斯期行列式W(x)=0． 4．线性齐次微分方程组 ，的一个基本解组的个数不能多于 个． 5．若函数组 在区间 上线性相关，则它们的朗斯基行列式 在区间 上 ． 6．函数组 的朗斯基行列式 是 ． 7．二阶方程 的等价方程组是 ． 8．若 和 是二阶线性齐次方程的基本解组，则它们 共同零点． 9．二阶线性齐次微分方程的两个解 , 成为其基本解组的充要条件是 ． 10． 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 个． 11．在方程y″+ p(x)y′+q(x)y = 0中，p(x), q(x)在(-∞,+∞)上连续，则它的任一非零解在xOy平面上 与x轴横截相交． 12．二阶线性方程 的基本解组是 ． 13．线性方程 的基本解组是 ． 14．方程 的所有解构成一个 维线性空间． 15．n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间． 二、计算题 1．将下列方程式化为一阶方程组 （1） （2） 2．求解下列方程组： （1） （2） 3．求解下列方程组： （1） （2） 4．求解下列方程组： （1） （2） 5．已知方程 的一个解 ，求其通解． 6．试求下列n阶常系数线性齐次方程的通解 （1） （2） 7．试求下述各方程满足给定的初始条件的解： （1） ， ， （2） ， ， 8．求下列n阶常系数线性非齐次方程的通解： （1） （2） 三、证明题 1．设 矩阵函数 ， 在（a, b）上连续，试证明，若方程组 与 有相同的基本解组，则 ． 2．设在方程 中， 在区间 上连续且恒不为零，试证它的任意两个线性无关解的朗斯基行列式是在区间 上严格单调函数． 3．试证明：二阶线性齐次方程的任意两个线性无关解组的朗斯基行列式之比是一个不为零的常数． 四、应用题 1．一质量为m的质点由静止开始沉入液体中，当下沉时，液体的反作用与下沉的速度成正比，求此质点的运动规律。 参考解答 一填空题 1．不能 2．n + 1 3．必要 4．n + 1 5．恒等于零 6． 7． 8．没有 9．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） 10． 11．可以 12． 13． 14．2 15．n 二、计算题 1．（1） 解 ， （2）解 2．（1） 解 方程组的系数阵为 特征方程为： det(A- E)= = ， 其特征根为 . 当 时, ， 其中a, b满足 (A- E) = = 0, 则有a + b = 0． 取a = 1, b = 1, 则得一特解 同理,当 时， 所以方程组的解为 （2）解 方程组的系数阵为 . 特征方程为: det(A- E)= = 特征根为 . 当 时, 其中a, b满足 (A- E) = =0, 故有 即 . 取 ，于是方程组对应于 = 故特征根 所对应的实解为 = , = 所以方程组的解为 = 3．（1）解 方程组的系数阵为 . 特征方程为: det(A- E)= = 特征根为 当 时, 其中a, b满足( = 0, 即 第一个方程 有 令 ，则 于是由 解得通解 = . （2） 解 系数阵为 特征方程为: det(A- E)= = . 特征根为 . 通解解为 . 4．解 方程组的系数阵为 ，其特征方程为： det(A- E)= = . 特征根为 , 方程组有如下形式的解: 代入原方程组有 消去 得 令 , 则 令 , 则 所以方程组的解为 （2）解 首先求出相应齐次线性方程组的通解. 对应齐次方程的系数阵为 . 其特征方程为： det(A- E)= = . 特征根为 当 时， ，其中a, b满足(A- E) = =0, 则有a b = 0 取a = b =1, 则得一特解 同理,当 时， 所以对应齐次线性方程组的通解为 然后运用常数变易法计算原方程组的一个特解. 将 代入原方程组，得 解得 . 原方程组的特解为 所以原方程组的通解为 5．解 由通解公式 ， ， 6．（1） 解 特征方程为: 特征根为: 。它们对应的解为: 方程通解为: . （2） 解 特征方程为: 特征根为: 它们对应的解为: 方程通解为: . 7．（1） 解 特征方程为: . 特征根为: ，方程通解为: 由初始条件有: ,解得 . 所以方程的初值解为: . （2）解 特征方程为: . 特征根为: ，方程通解为: 由初始条件有: ,解得 . 所以方程的初值解为: . 8．（1）解 由于 ， ， 故齐次方程的通解为 . 由于 不是特征根，故已知方程有形如 的特解. 将它代入原方程，得, ， 所求通解为 . （2）解 由于 ， . 因为 不是特征根，故已知方程有形如 的特解．将上式代入原方程，可得 ， 所求通解为 . 三、证明题 1．证明 设 为基本解矩阵, 因为基本解矩阵是可逆的, 故有 于是 . 2．证明 设w(x)是方程的任意两个线性无关解的朗斯基行列式，则 且 有 ， .又因为 在区间 上连续且恒不为零,从而对 , 或 ,所以, 在 上恒正或恒负,即w(x)为严格单调函数. 3．证明 设两个线性的解组的朗斯基行列式分别为 ， ，且 ， 所以有 . 四、应用题 解 设液体的反作用与质点速度的比例系数为 则指点的运动满足方程： 即 则(*)所对应的齐次方程的通解为： 又 是齐次方程的特征根,故特解形式为： 代入(*)式得： 所以 由 得 故 |